Tipos de relaciones y funciones 1

 FUNCIONES RELACIONES, PARES ORDENADOS
Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.
En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el

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Supongamos que el dominio se llama M y el rango, N. Una relación matemática de M en N será un subconjunto del producto cartesiano M x N. Las relaciones, en otras palabras, serán pares ordenados que vinculen elementos de M con elementos de N.
Si M = {5, 7} y N = {3, 6, 8}, el producto cartesiano de M x N serán los siguientes pares ordenados:
M x N = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}
Con este producto cartesiano, se pueden definir diferentes relaciones. La relación matemática del conjunto de pares cuyo segundo elemento es menor a 7 es R = {(5, 3), (5, 6), (7, 3), (7, 6)}
Otra relación matemática que puede definirse es aquella del conjunto de pares cuyo segundo elemento es par: R = {(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8)}

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El concepto de función tiene su origen en el término latino functĭo. La palabra puede ser utilizada en diversos ámbitos y con distintos significados.

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Por ejemplo, una función es la representación de una obra artística. La función teatral es la representación que se realiza en vivo en un teatro, mientras que también se denomina función a la exhibición de una película en las salas de cine.
Por otra parte, una función matemática es la correspondencia o relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B. Una función cumple con la condición de existencia (todos los elementos de A están relacionados con los elementos de B) y con la condición de unicidad (cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B).

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Funciones en Forma de Tabla

Las tablas también pueden ser usadas para describir funciones. Comparemos tablas de funciones con tablas de relaciones que no son funciones.

Esta tabla representa una función. Ninguno de los valores independientes (x) están repetidos y cada uno corresponde a un solo valor dependiente (y).

x	y
-1	3
-2	5
-3	3
-5	-3

La siguiente tabla no representa a una función. La columna x tiene dos valores que son 3, y corresponden a dos valores diferentes de y. Recuerda, cuando una sola entrada puede producir múltiples salidas, la relación no es una función.

x	y
3	-1
5	-2
3	-3
-3	-5

¿Cuál de las siguientes tablas representa a una función?

A)

B)

C)

Funciones como Conjuntos de Pares Ordenados

Las funciones también pueden ser representadas por pares de valores de x y y, entradas y salidas. Podemos obtener pares de tablas y gráficas, y usar paréntesis para mantenerlos juntos.

Regresemos a ésta tabla de una función:

x	y
-1	3
-2	5
-3	3
-5	-3

Cada fila en la tabla describe un par ordenado de ésta forma: una x de -1 corresponde a una y de 3, resultando el par ordenado (-1, 3). Una x de -2 corresponde a una y de 5, por lo que el par ordenado es (-2, 5). La tabla completa nos da el conjunto de pares ordenados:

{(-1, 3), (-2, 5), (-3, 3), (-5, -3)}

Para mostrar que los cuatro pares ordenados pertenecen al mismo conjunto, los agrupamos separados cada uno por comas y dentro de corchetes. De la misma forma que con otros métodos para representar relaciones, podemos revisar las características de un conjunto de pares ordenados para determinar si es una función. Ya que el primer valor de cada par es la entrada y el segundo es la salida, podemos explorar el conjunto para ver si cada entrada está asociada con una sola salida. Si lo está, el conjunto es una función.

O podemos trazar los puntos en un eje de coordenadas para una revisión visual. Aquí podemos ver que en el conjunto de nuestros pares ordenados, cada valor x/entrada/independiente tiene uno y sólo un valor y/salida/dependiente:

Otro conjunto de pares ordenados: {(3,-1),(5,-2),(3,-3),(-3,5)} una de las entradas, 3, puede producir dos salidas diferentes, -1 y -3.  Ya sabes lo que significa — éste conjunto de pares ordenados no es una función. Una gráfica lo puede confirmar:

Nota que la línea vertical pasa a través de dos puntos. Una coordenada x tiene múltiples coordenadas y. Eso también significa que la relación no es una función.

¿Cuál de los siguientes es un conjunto de pares ordenados que representa a una función?

A) {2, 4, 4, 8, 8,16, 16, 32}

B) {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 2), (2, -2)}

C) (4, 2), (5, 1), (6, 0), (7, -1), (8, -2)

D) {(-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}

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Rectas Horizontales y Verticales — ¿Son Funciones o No?

Hay dos casos especiales de relaciones y son las rectas horizontales y las rectas verticales. ¿Son funciones?

Empecemos con la recta horizontal. Una recta en el eje de coordenadas es horizontal cuando cada coordenada x tiene la misma coordenada y. No hay coordenadas x con más de una coordenada y, y cada entrada siempre produce la misma salida. Por lo tanto, todas las rectas horizontales representan a una función.

Ahora considera la recta vertical. En ésta situación, cada coordenada y tiene la misma coordenada x. La entrada nunca cambia, pero la salida cambia constantemente. Ya que el mismo valor de x tiene diferentes valores de y, una recta vertical no puede representar una función.