Analisis Matemático de una Función

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

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Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

1. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
   Si existe un número “a” tal, que :
   La recta “x = a” es la asíntota vertical.
   Ejemplo:
   es la asíntota vertical.
   
   
   
   
2. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
   Si existe el límite: :
   La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
   Ejemplo:
   es la asíntota horizontal.
   
   
   
   
3. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
   Si existen los límites: :
   La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
   Ejemplo:
   
   es la asíntota oblicua.
   
   
   

Nota-1

Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

Nota-2

En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

Posición relativa de la función con respecto a la asíntota

Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:

Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota].

Ejemplo:

La función tiene por asíntota oblicua la recta

Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).

Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota. 

asíntota

Asíntota es un término con origen en un vocablo griego que hace referencia a algo que no tiene coincidencia. El concepto se utiliza en el ámbito de la geometría para nombrar a una recta que, a medida que se prolonga de manera indefinida, tiende a acercarse a una cierta curva o función, aunque sin alcanzar a hallarla.

Esto quiere decir que, mientras la recta y la curva van extendiéndose, la distancia entre ambas tenderá hacia el cero. De acuerdo a sus características, las asíntotas pueden clasificarse en horizontales (cuando la recta es perpendicular al eje que corresponde a las ordenadas), verticales (la recta, en este caso, es perpendicular al eje correspondiente a las abscisas) u oblicuas (no resultan perpendiculares ni paralelas a ningún eje).

Es posible determinar cuál es la posición relativa que ocupa la función respecto a la recta asíntota si se calculan los puntos de corte de las dos. Dichos puntos indicarán las modificaciones en la posición de la función frente a la asíntota. Cabe mencionar que, si bien la asíntota y la función suelen representarse juntas, la primera no es parte integral de la expresión analítica de la segunda; por esta razón, muchas veces se la indica por medio de una línea punteada, o bien se la excluye de la gráfica.

La utilidad de las asíntotas se encuentra, por ejemplo, a la hora de representar una curva de manera gráfica. Estas rectas, que señalan el comportamiento futuro y brindan un soporte a la curva, se pueden expresar de manera analítica según el sistema de referencias en cuestión.
Estos conocimientos suelen ser llevados a la práctica en campos como la ingeniería o la arquitectura. En una estructura hiperboloide (como la famosa torre televisiva de Cantón, de unos seiscientos metros de altura), las rectas asintóticas confieren estabilidad ya que funcionan como soporte.
Etimología del término asíntota
La palabra griega de la cual obtuvimos “asíntota” puede escribirse asymptotos y traducirse como que no cae junto o, simplemente, eso que no cae. Con respecto a su estructura, se distinguen las siguientes partes:
* el prefijo a-, que también puede encontrarse en su forma an-. Tiene un valor privativo que se asocia al significado de la palabra “no”, y se aprecia en términos como anacoluto, anarquía, apático y analgésico. Cuando se combina con la raíz ne-, de origen indoeuropeo, que a su vez se encuentra en el prefijo in-, que viene del latín, obtenemos incapaz, inadaptado e inaudito, entre otros;
* el prefijo sin-, que puede definirse como a la vez, juntamente o con. Lo vemos, por ejemplo, en las palabras sindicato, sinécdoque, sintagma y sincretismo;
* la raíz del verbo griego piptein, cuya traducción es caer. Éste se encuentra ligado a la raíz pet- (de origen indoeuropeo y con los significados volar o caer), el cual hallamos en los términos con raíces latinas peña, panaché, pedir, competencia, pana, pendón, repetición y centrípeto, entre otros;
* el sufijo verbal -tos, que hace referencia a una cosa que se hizo o que se puede llevar a cabo. Algunos de los términos en los cuales se encuentra son asbesto, asfalto y antídoto.
El famoso geómetra Apolonio de Perge, nacido aproximadamente en el año 262 a.C. en la ciudad que le dio el apellido, fue el primero en aprovechar el término asíntota para referirse al concepto matemático de una recta que no logra tocar a una hipérbola, en su tratado “Sobre las secciones cónicas“. Cabe mencionar que también se le deben los nombres de la parábola y la elipse, así como la teoría de los epiciclos (que busca dar una explicación a la aparente variación de la velocidad de la Luna y al supuesto movimiento de los planetas).

Lee todo en: Definición de asíntota - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/asintota/#ixzz3YHATMWzD