Una
función (f) es
una relación entre un conjunto
dado X (llamado
dominio) y otro conjunto de
elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un
único elemento f(x) del codominio (los que
forman
el recorrido, rango o ámbito).
De manera más simple:
Una función es una relación entre dos
magnitudes, de tal manera que a cada
valor de la primera
corresponde un único valor de la segunda.
La función se puede ilustrar mediante un
diagrama
usando flechas para indicar la forma en que se asocian los
elementos de los dos
conjuntos.
Básicamente, hay tres formas para expresar una
función: mediante una tabla de
valores (como el
ejemplo anterior), mediante una expresión
algebraica o, como veremos luego, mediante
una gráfica.
Tipos de funciones
Dependiendo de ciertas características que tome
la expresión algebraica o notación de la
función f en x, tendremos distintos tipos
de
funciones:
Una función de la forma f(x) = b,
donde b es una constante, se conoce como
una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor
de y) donde el dominio es el conjunto de los números
reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La
gráfica de abajo
muestra que es una recta
horizontal.
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce
como una función lineal, donde m representa la pendiente y
b representa el intercepto en y. La representación
gráfica de una función lineal es una recta. Las
funciones lineales son funciones polinómicas.
Ejemplo:
F(x) = 2x - 1
Es una función lineal con pendiente m = 2 e
intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta
ascendente.
Para trazar la gráfica de una función
lineal solo es necesario conocer dos de sus
puntos.
La ecuación
matemática que representa a
esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b,
donde f(x) corresponde al valor de y,
entonces
y = ax + b
Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la
ordenada al origen.
La pendiente indica la inclinación de la recta,
cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del
signo que tenga.
El valor de "a" siempre es una fracción (si no
tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el
numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el
denominador (q) indica cuanto avanzo o
retrocedo.
Aprendido esto, y según el signo de la
fracción, la pendiente se
marca de la siguiente
forma:
La ordenada al origen (b) es el valor donde la
recta corta al eje y.
La recta siempre va a pasar por el punto (0;
b)
Representación gráfica de una
función lineal o función afín
Para graficar una recta, alcanza con los
datos que da la
ecuación matemática de la función, y se
opera de la siguiente manera:
-
1. Se marca sobre el eje y la
ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar
dicho eje.
-
2. Desde ese punto, subo o bajo según
sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo según indique
el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo punto
de la recta.
-
3. Se podría seguir marcando puntos con
la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como
para poder graficar la recta.
-
4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se
traza la recta que pasa por los mismos.
Ejemplo:
Graficar la siguiente función:
La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar
sobre el eje y en el 3.
También podemos graficar una función dando
valores a x y obteniendo dos puntos en las
coordenadas.
Ejemplo:
Graficar la función dada
por f(x) = 2x – 1
Solución
Como la función es lineal se buscan dos puntos de
la recta; para ello, se le dan valores
a x y se encuentran sus
imágenes
respectivas, esto es:
Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0)
– 1 = - 1
Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) –
1 = 3
Así, los puntos obtenidos son (0, -1) y (2,
3), por los cuales se traza la gráfica
correspondiente.
El dominio de todas estas funciones
polinómicas es el conjunto de los números reales
(porque el elemento x puede ser cualquier número
real).
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx
+ c, donde a, b y c son constantes
y a es diferente de cero, se conoce como
una función cuadrática.
La representación gráfica de una
función cuadrática es una parábola. Una
parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre
hacia abajo si a < 0.
El vértice de una parábola se determina
por la fórmula:
Las funciones cuadráticas son funciones
polinómicas.
Ejemplo:
|
|
| F(x) = x2 representa una
parábola que abre hacia arriba con vértice
en (0,0). |
Una función racional es el cociente de
dos funciones polinómicas. Así es
que q es una función racional si para
todo x en el dominio, se tiene:
Nota: El dominio de una función
polinómica son los números reales; sin embargo, el
dominio de una función racional consiste de todos los
números reales excepto los ceros del polinomio en el
denominador (ya que la división por cero no está
definida).
Función de potencia
Una función de
potencia es toda función de
la forma f(x) = xr, donde r es
cualquier número real.
Las funciones f(x)
= x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de
potencia.
Ejercicios y ejemplos con funciones en
general:
Expresar mediante una fórmula la función
que asocia a cada número:
a) Su cuádruplo.
La función
es: f (x) = 4x.
b) Un número 2 unidades mayor.
La función
es: f (x) = x + 2.
c) Su mitad menos 1.
La función
es: f (x) = x/2 - 1.
d) El cuadrado del número que es una unidad
menor.
La función
es: f (x) = (x - 1)2
Veamos algunos otros ejemplos de funciones:
1) El
volumen de un
gas está determinado por la
presión (a
temperatura constante), esta relación
viene dada por la
ley de Boyle-Mariotte:
Donde v representa el volumen del gas en
litros, p es la presión en
atmósferas y c es una constante de
proporcionalidad.
Se observa que al variar la presión a la que
está sometido el gas varía el volumen; es decir,
los valores del volumen dependen de los valores de la
presión del gas y para cada valor de la presión
existe un único valor del volumen.
2) El área A del círculo depende de
la longitud de su
radio r y está dada por la
fórmula:
Si se conoce el valor del radio se puede conocer el
valor del área del círculo.
3) Dada la función f(x) = 5x2 +
2
Encontrar el valor de la función para
cuando x = 2.
Para calcular la
imagen de un elemento bajo la
función f, se reemplaza dicho elemento en el
lugar de la variable, así para x = 2
F
(2) = 5(2)2 + 2
F
(2) = 22
Por lo tanto cuando x = 2, se tiene
que f (2) = 22.
Ejemplo:
El
precio de arrendar un auto es de 15
dólares más 0,20 de dólar por
kilómetro recorrido.
-
a) Hallar la fórmula que expresa el
costo del arriendo en función del número de los
kilómetros recorridos.
-
b) ¿Cuánto hay que pagar si se
han recorrido 50 kilómetros?
c) Si han cobrado 53 dólares
¿cuántos kilómetros se han
recorrido?
Veamos:
a) Si llamamos x al número de kms
recorridos, la fórmula de la función
es f (x) = 15 + 0,2x.
b) x = 50 entonces
F (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25
Hay que pagar 25 dólares.
c) f (x) = 53 entonces
15 + 0,2x = 53 entonces x
= 190
Se han recorrido 190 km.
Álgebra de funciones
Suma, resta, multiplicación y división de
funciones
Sean f y g dos funciones
cualesquiera.
Ejemplos:
Suma de funciones
Sean las funciones
.
En diagramas se representan primero todos los elementos en sus respectivos
conjuntos y luego se colorea todo el diagrama.
. En diagramas
se representan primero todos los elementos en sus respectivos conjuntos
y luego se colorea la zona que pertenece a ambos conjuntos.
.
.
es la asíntota vertical.
es la asíntota horizontal.
es la asíntota oblicua.
tiene por asíntota oblicua la recta
la función está por 
la función está por 
